题目内容
5.已知|$\overrightarrow{OA}$|=3,|$\overrightarrow{OB}$|=4,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,点P在以O为圆心,1为半径的圆上,若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$,则x+y的最大值为$\frac{5}{12}$.分析 利用向量的运算得出,|$\overrightarrow{OP}$|2=(x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$)2=x2•|$\overrightarrow{OA}$|2+y2•|$\overrightarrow{OB}$|2+2xy×$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=9x2+16y2=1,
判断点(x,y)在椭圆上,根据三角代换得出x+y=$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα,α∈[0,2π),根据三角函数化简求值即可.
解答 解:∵|$\overrightarrow{OA}$|=3,|$\overrightarrow{OB}$|=4,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,点P在以O为圆心,1为半径的圆上,
∴|$\overrightarrow{OP}$|=1
∴点(x,y)在椭圆上,
根据三角代换得出:x=$\frac{1}{3}$cosα,y=$\frac{1}{4}$sinα,α∈[0,2π)
∴x+y=$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα,α∈[0,2π),
∵$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα≤$\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}$=$\frac{5}{12}$,
∴x+y的最大值为$\frac{5}{12}$,
故答案为:$\frac{5}{12}$
点评 本题综合性较大,考察了平面向量的运算,椭圆的方程,三角代换,三角函数式的求值,考察了学生综合运用数学知识解决问题的能力.
A. | 2 | B. | 2或4 | C. | 1或5 | D. | 5 |
A. | $\sqrt{1-{m^2}}$ | B. | -$\sqrt{1-{m^2}}$ | C. | m | D. | -m |