Question

20．已知f（x）=t²+2+2tx（t≠0）．则$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的范围[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 首先，结合三角函数的值域，得到cosθ∈[-1，1]，sinθ∈[-1，1]，然后，得到∴$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最大值为$\frac{{t}^{2}+2+2|t|}{{t}^{2}+2}$，$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最小值为：$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2+2|t|}$，然后，结合基本不等式确定其范围即可．

解答 解：∵cosθ∈[-1，1]，sinθ∈[-1，1]，
当sinθ=0时，cosθ=±1，
∴$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最大值为：$\frac{{t}^{2}+2+2|t|}{{t}^{2}+2}$，
∴$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最小值为：$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2+2|t|}$，
∵$\frac{{t}^{2}+2+2|t|}{{t}^{2}+2}$=1+$\frac{2|t|}{{t}^{2}+2}$，
=1+$\frac{2}{|t|+\frac{2}{|t|}}$≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2+2|t|}$
=1-$\frac{2|t|}{{t}^{2}+2+2|t|}=1-\frac{2}{|t|+\frac{2}{|t|}+2}$≥1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴取值范围为：[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题重点考查了三角函数的值域、基本不等式等知识，属于中档题．