Question

8．设左、右焦点分别为F₁，F₂的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，P为椭圆C上一点，且PF₂垂直于x轴，|PF₂|=$\frac{3}{2}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）过坐标原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：直线AB与圆x²+y²=$\frac{12}{7}$相切．

Answer 1

分析 （1）根据条件$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，从而得到$c=\frac{a}{2}$，而由$\left\{\begin{array}{l}{x=c}\\{\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$得到$y=±\frac{\sqrt{3}}{2}b$，这样根据$|P{F}_{2}|=\frac{3}{2}$即可得到b=$\sqrt{3}$，进一步可求出a，从而得出椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程消去y便可得到：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，根据韦达定理即可得到${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．而根据OA⊥OB，便有x₁x₂+y₁y₂=0，这样即可得到关于k，m的式子：7m²=12（k²+1），从而可求出原点O到直线AB的距离为圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$，从而得出直线AB与该圆相切．

解答 解：（1）椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
∴$c=\frac{a}{2}$；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{x=c}\end{array}\right.$得：$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$；
∴$y=±\frac{\sqrt{3}}{2}b$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{3}{2}$；
∴$b=\sqrt{3}$；
${∴a}^{2}-{c}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}=3$；
∴a²=4；
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0；
设A（x₁y₁），B（x₂，y₂）；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$；
∵OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴x₁x₂+y₁y₂=0；
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+mk（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$；
∴$\frac{（1+{k}^{2}）（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}$$-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}$=7m²-12k²-12=0；
∴7m²=12（k²+1）；
∴O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{\frac{12}{7}}$；
又圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$的半径为$\sqrt{\frac{12}{7}}$；
∴直线AB与圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{12}{7}$相切．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念，椭圆焦点的概念，直线的点斜式方程，韦达定理，以及向量垂直的充要条件，点到直线的距离公式，圆的标准方程．