题目内容
【题目】一位幼儿园老师给班上k(k≥3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的
分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的
分给第n(n=1,2,3,…k)个小朋友.如果设分给第n个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为an.
(1)当k=3,a0=12时,分别求a1,a2,a3;
(2)请用an-1表示an;令bn=(n+1)an,求数列{bn}的通项公式;
(3)是否存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列,如果存在,请求出所有的k和a0,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)a1=7,a2=6,a3=6 (2)an=(an-1+2),bn=n(n+1)+a0 (3)存在,当a0=0时,an=n,对任意正整数k(k≥3),有{an}(n≤k)成等差数列.
【解析】
(1)由题意知:an=(an﹣1+2)(an﹣1+2),将k=3,a0=12代入可得a1,a2,a3;
(2)将an=(an﹣1+2)(an﹣1+2)变形得(n+1)an=n(an﹣1+2)=nan﹣1+2n,即bn﹣bn﹣1=2n,利用累加法可得bn﹣b0=n(n+1),进而得到数列{bn}的通项公式;
(3)由(2)得an=n,根据等差数列满足a1+a3=2a2,代入求出a0=0,an=n时,满足条件.
(1)当k=3,a0=12时,
a1=(a0+2)(a0+2)=7,
a2=(a1+2)(a1+2)=6,
a3=(a2+2)(a0+2)=6,
(2)由题意知:an=(an﹣1+2)(an﹣1+2)
(an﹣1+2),
即(n+1)an=n(an﹣1+2)=nan﹣1+2n,
∵bn=(n+1)an,
∴bn﹣bn﹣1=2n,
∴bn﹣1﹣bn﹣2=2n﹣2,
…
b1﹣b0=2,
累加得bn﹣b0n(n+1)
∴bn=n(n+1)+a0,
(3)由bn=n(n+1)+a0,得an=n,
若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列,
则a1+a3=2a2
即(1a0)+3
a0=2(2
a0)
∴a0=0
即当a0=0时,an=n,对任意正整数k(k≥3),有{an}(n≤k)成等差数列.
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