Question

3．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A（0，0），B（4，1），C（6，8）
（1）求顶点D的坐标；
（2）若$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EC}$，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．

Answer 1

分析 （1）设D（x，y），则$\overrightarrow{AB}$=（4，1）=$\overrightarrow{DC}$=（6-x，8-y），即可求顶点D的坐标；
（2）设I（a，b），则由题意，F（1，3.5），E（$\frac{14}{3}$，$\frac{23}{3}$），利用向量共线，建立方程，即可求AE与BF的交点I的坐标．

解答 解：（1）设D（x，y），则$\overrightarrow{AB}$=（4，1）=$\overrightarrow{DC}$=（6-x，8-y），
∴6-x=4，8-y=1，
∴x=2，y=7，即D（2，7）；
（2）设I（a，b），则
由题意，F（1，3.5），E（$\frac{14}{3}$，$\frac{23}{3}$），
∴$\overrightarrow{AI}$=（a，b），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{14}{3}$，$\frac{23}{3}$），
∴14b=23a．
$\overrightarrow{BI}$=（a-4，b-1），$\overrightarrow{BF}$=（-3，2.5），
∴2.5（a-4）=-3（b-1），
∴a=$\frac{52}{79}$，b=$\frac{598}{553}$，
∴I（$\frac{52}{79}$，$\frac{598}{553}$）．

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求向量是关键．