题目内容

13.对于x∈(0,$\frac{π}{2}$),不等式$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$≥16恒成立,则正数p的取值范围为(  )
A.(-∞-9)B.(-9,9]C.(-∞,9]D.[9,+∞)

分析 $\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$=($\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$)(sin2x+cos2x),展开利用基本不等式求出其最小值,让最小值大于等于16得到关于p的不等式,求出解集即可.

解答 解:$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$=($\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$)(sin2x+cos2x)=1+p+$\frac{psi{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$+$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$
≥1+p+2$\sqrt{p}$=($\sqrt{p}$+1)2
所以由不等式$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$≥16恒成立,得($\sqrt{p}$+1)2≥16
所以p≥9
故选:D.

点评 此题是函数恒成立的问题,并考查利用基本不等式求出其最小值的方法,利用“1”的代换是关键.

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