Question

11．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OB}$=（-9，2），$\overrightarrow{OC}$=（1，7）．
（1）分别求线段BC、AC的中点E、F坐标；
（2）求AE，BF的交点M的坐标；
（3）在直线AB上求一点P，使|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，B，C的坐标，根据中点坐标公式即可求出E，F点的坐标；
（2）先求出直线AE，BF的方程，然后解这两个方程形成的方程组即得M点坐标；
（3）根据已知即得$\overrightarrow{AP}=±\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，设P（x₀，y₀），带入A，B点坐标，即可得到关于x₀，y₀的二元一次方程组，求解方程组即得P点坐标．

解答 解：（1）根据已知得：A（3，4），B（-9，2），C（1，7）；
根据中点坐标公式得，E（-4，$\frac{9}{2}$），F（2，$\frac{11}{2}$）；
（2）直线AE的方程为：y-4=$-\frac{1}{14}$（x-3），直线BF的方程为：y-2=$\frac{7}{22}$（x+9）；
联立这两方程解方程组得，x=$-\frac{5}{3}$，y=$\frac{13}{3}$；
∴M（$-\frac{5}{3}，\frac{13}{3}$）；
（3）$\overrightarrow{AB}=（-12，-2）$，点P在AB上，且$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}|$；
∴$\overrightarrow{AP}=±\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，设P（x₀，y₀），$\overrightarrow{AP}=（{x}_{0}-3，{y}_{0}-4）$；
∴$（{x}_{0}-3，{y}_{0}-4）=±\frac{1}{3}（-12，-2）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-1}\\{{y}_{0}=\frac{10}{3}}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=7}\\{{y}_{0}=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$；
∴$P（-1，\frac{10}{3}），或P（7，\frac{14}{3}）$．

点评 考查向量的起点是原点时，向量坐标和终点坐标的关系，中点坐标公式，直线的点斜式方程，以及由两点坐标求直线斜率，共线向量基本定理，数乘的几何意义．