Question

10．如图，在平行四边形ABCD中∠DAB=60°AB=2，AD=4，将△ABC沿BD折起到△EBD的位置．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）∠CDE取何值时，三棱E-ABD的体积取最大值？并求此时三棱E-ABD的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：AB⊥DE，可得BD⊥CD，BD⊥DE，即可证明BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）当∠CDE=90°时，h=ED=2，三棱锥E-ABD的体积取最大值，再求此时三棱E-ABD的侧面积．

解答 （I）证明：在△ABD中，∵∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=$\sqrt{4+16-2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BD²=AD²，
∴AB⊥DE
∵AB∥CD，
∴BD⊥CD，BD⊥DE，
又∵CD∩DE=D，∴BD⊥平面CDE　　…（6分）
（Ⅱ）解：设E点到平面ABCD距离为h，则h≤ED=2．
由（I）知BD⊥DE
当DE⊥CD时，
∵BD∩CD=D，∴ED⊥平面ABCD，
∴当∠CDE=90°时，h=ED=2，三棱锥E-ABD的体积取最大值．
此时ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AD、ED⊥BD
在Rt△DBE中，∵$DB=2\sqrt{3}，DE=DC=AB=2$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}DB•DE$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，S_△ADE=$\frac{1}{2}AD•DE$=4，
∵AB⊥BD，BD⊥DE，BD∩DE=D，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥BE．
∵BE=BC=AD=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}AB•BE$=4，
综上，∠CDE=90°时，三棱锥E-ABD体积取最大值，此时侧面积S=8+2$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查棱锥的侧面积，直线和平面的垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．