Question

3．数列{a_n}满足：a₁+2a₂+…na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N⁺．
（1）求a₃的值；
（2）求数列{a_n}的前 n项和T_n；
（3）令b₁=a₁，b_n=$\frac{{T}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n（n≥2），证明：数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n＜2+2lnn．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系即可求a₃的值；
（2）利用作差法求出数列{a_n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a_n}的前 n项和T_n；
（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．

解答 解：（1）∵a₁+2a₂+…na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N⁺．
∴a₁=4-3=1，1+2a₂=4-$\frac{2+2}{{2}^{2-1}}$=2，
解得a₂=$\frac{1}{2}$，
∵a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N⁺．
∴a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$，n∈N⁺．
两式相减得na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$-（4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$）=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，n≥2，
则a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，n≥2，
当n=1时，a₁=1也满足，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，n≥1，
则a₃=$\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4}$；
（2）∵a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，n≥1，
∴数列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，
则数列{a_n}的前 n项和T_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-2^1-n．
（3）b_n=$\frac{{T}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n，
∴b₁=a₁，b₂=$\frac{{a}_{1}}{2}$+（1+$\frac{1}{2}$）a₂，b₃=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{3}+$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）a₃，
∴b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a₁+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a₂+…+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）（a₁+a₂+…+a_n）=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）T_n
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）（2-2^1-n）＜2×（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$），
设f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x＞1，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}＞0$．
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵f（1）=0，即f（x）＞0，
∵k≥2，且k∈N^•时，$\frac{k}{k-1}＞1$，
∴f（$\frac{k}{k-1}$）=ln$\frac{k}{k-1}$+$\frac{1}{\frac{k}{k-1}}$-1＞0，即ln$\frac{k}{k-1}$＞$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{1}{2}＜$ln$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{3}＜ln\frac{3}{2}$，…$\frac{1}{n}＜ln\frac{n}{n-1}$，
即$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＜ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n}{n-1}$=lnn，
∴2×（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）=2+2×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）＜2+2lnn，
即S_n＜2（1+lnn）=2+2lnn．

点评 本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．