题目内容
【题目】已知函数,
,
,且
的最小值为
.
(1)求的值;
(2)若不等式对任意
恒成立,其中
是自然对数的底数,求
的取值范围;
(3)设曲线与曲线
交于点
,且两曲线在点
处的切线分别为
,
.试判断
,
与
轴是否能围成等腰三角形?若能,确定所围成的等腰三角形的个数;若不能,请说明理由.
【答案】(1).(2)
. (3)
,
与
轴能围成2个等腰三角形.
【解析】试题分析:
(1)由原函数与导函数的关系可求得a=-2;
(2) 不等式即,构造函数令
,分类讨论可得
的取值范围是
.
(3) 设,
的倾斜角分别为
,
,若
,
与
轴所围成的三角形是等腰三角形,则
或
. 分类讨论:
和
两种情况可得
,
与
轴能围成2个等腰三角形.
试题解析:
(1),所以
,则
的最小值为
,
因此抛物线的对称轴为
,即
,所以
.
(2)由(1)知, .不等式
即
,
所以对任意
恒成立.
令,则
.
①若,则
,所以函数
在
上单调减,
故,解得
,
此时无符合题意的值; ②若
,令
,解得
.
列表如下:
↘ | 极小值 | ↗ |
由题意,可知 解得
.
故的取值范围为
.
(3)设,
的倾斜角分别为
,
,则
,
.
因为,所以
,
,则
,
均为锐角.
若,
与
轴所围成的三角形是等腰三角形,则
或
.
①当时,
,即
,解得
,
而,即
,
整理得, ,解得
.
所以存在唯一的满足题意.
②当时,由
可得
,
而,即
,
整理得, .
令,则
.
令,解得
.列表如下:
↘ | 极小值 | ↗ |
而,
,
,
所以在
内有一个零点,也是
上的唯一零点.
所以存在唯一的满足题意.
综上所述, ,
与
轴能围成2个等腰三角形.
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