题目内容
【题目】已知二次函数f(x)=x2+bx+c,且f(﹣3)=f(1),f(0)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣(4+2a)x+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最值.
【答案】
(1)解:∵二次函数f(x)=x2+bx+c,且f(﹣3)=f(1),f(0)=0.
∴c=0,且9﹣3b=1+b,
∴b=2,
∴函数f(x)=x2+2x
(2)解:g(x)=f(x)﹣(4+2a)x+2=x2﹣(2+2a)x+2的图象开口朝上,且以直线x=a+1为对称轴,
由x∈[1,2],
①当a+1≤1时,即a≤0时,当x=1时,函数g(x)取最小值1﹣2a,当x=2时,函数g(x)取最大值2﹣4a;
②当1<a+1< 时,即0<a<
时,当x=1+a时,函数g(x)取最小值﹣a2﹣2a+1,当x=2时,函数g(x)取最大值2﹣4a
③当a+1= 时,即a=
时,当x=
时,函数g(x)取最小值﹣
,当x=1,或x=2时,函数g(x)取最大值﹣2;
④当 <a+1<2时,即
<a<1时,当x=1+a时,函数g(x)取最小值﹣a2﹣2a+1,当x=1时,函数g(x)取最大值1﹣2a,
⑤当a+1≥2时,即a≥1时,当x=2时,函数g(x)取最小值2﹣4a,当x=1时,函数g(x)取最大值1﹣2a
【解析】(1)由已知中f(﹣3)=f(1),f(0)=0,求出b,c的值,可得函数f(x)的解析式;(2)函数g(x)=f(x)﹣(4+2a)x+2=x2﹣(2+2a)x+2的图象开口朝上,且以直线x=a+1为对称轴,由x∈[1,2],对对称轴的位置进行分类讨论,可得函数的最值.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减才能正确解答此题.
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