Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），设b_n=a_n+1+a_n，C_n=a_n+1-3a_n．
（1）证明{b_n}，{C_n}为等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+2=2a_n+1+3a_n（n≥1）变形可知a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），进而b_n+1=3b_n；同理通过a_n+2=2a_n+1+3a_n可知a_n+2-3a_n+1=-（a_n+1-3a_n），进而C_n+1=-C_n；
（2）通过b_n=a_n+1+a_n与C_n=a_n+1-3a_n作差可知a_n=$\frac{1}{4}$（b_n-C_n），进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n+2=2a_n+1+3a_n（n≥1），
∴a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），
又∵b_n=a_n+1+a_n，
∴b_n+1=3b_n，
又∵b₁=a₂+a₁=7，
∴数列{b_n}是以7为首项、3为比的等比数列；
∵a_n+2=2a_n+1+3a_n，
∴a_n+2-3a_n+1=-（a_n+1-3a_n），
又∵C_n=a_n+1-3a_n，
∴C_n+1=-C_n；
又∵C₁=a₂-3a₁=-13，
∴{C_n}是以-13为首项、-1为公比的等比数列；
（2）解：∵b_n=a_n+1+a_n，C_n=a_n+1-3a_n，
∴a_n=$\frac{1}{4}$（b_n-C_n），
由（1）知${b_n}={a_{n+1}}+{a_n}=7•{3^{n-1}}$             …①
${C_n}={a_{n+1}}-3{a_n}=（-13）•{（-1）^{n-1}}$               …②
①-②得 ${a_n}=\frac{1}{4}[7•{3^{n-1}}+13•{（-1）^{n-1}}]$．

点评 本题考查数列的递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．