Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．

（1）求的解析式及单调递减区间；

（2）若存在，使函数成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），减区间为和；（2）.

【解析】

试题分析：（1）令解出，得出的解析式，令解出的单调递减区间；（2）由（1）得，分离常数，存在使函数成立，使即可，对进行求导，利用导数判断函数的单调性得到其最小值.

试题解析：（1）函数的定义域为，，

又由题意有：，所以，故．

此时，，由，解得或，

所以函数的单调递减区间为和．

（2）因为，

由已知，若存在使函数成立，

则只需满足当时，即可．

又，

则，

若，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

，

∴，又∵，∴．

若，则在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值是，

又∵，而，所以一定满足条件，

综上所述，的取值范围是．