题目内容
【题目】平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的离心率是
,抛物线
:
的焦点
是
的一个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是
上的动点,且位于第一象限,
在点
处的切线
与
交于不同的两点
,
,线段
的中点为
,直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)直线与
轴交于点
,记△
的面积为
,△
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点
的坐标.
【答案】(1);(2)(i)证明见解析,(ii)
的最大值为
,此时点
的坐标为
.
【解析】
试题分析:(1)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标,以及椭圆的,
,
的关系,解得
,
,
进而得到椭圆的方程;(2)(i)设,运用导数求得切线的斜率和方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,可得中点
的坐标,求得
的方程,再令
,可得
.进而得到定直线;(ii)由直线
的方程为
,令
,可得
,运用三角形的面积公式,可得
,
,化简整理,再
,整理可得
的二次方程,进而得到最大值及此时
的坐标.
试题解析:(1)由题意知,可得
,
因为抛物线的焦点为
,所以
,
,
所以椭圆的方程为
.
(2)(i)设(
),由
可得
,
所以直线的斜率为
,
因此直线的方程为
,即
,
设,
,
,联立方程
得,
由,得
且
,
因此,
将其代入,得
,
因为,所以直线
方程为
,
联立方程得点
的纵坐标为
,
即点在定直线
上.
(ii)由(i)知直线方程为
,令
,得
,∴
,
又,
,
,
所以,
,所以
,
令,则
,则
,
当,即
时,
取得最大值
,此时
,满足
,
所以点的坐标为
,因此
的最大值为
,此时点
的坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗,为了解树苗生长情况,从这批树苗中随机测量了其中50棵树苗的高度(单位:厘米),把这些高度列成了如下的频率分布表:
组别 | ||||||
频数 | 2 | 3 | 14 | 15 | 12 | 4 |
(1)在这批树苗中任取一棵,其高度在85厘米以上的概率大约是多少?
(2)这批树苗的平均高度大约是多少?
(3)为了进一步获得研究资料,若从组中移出一棵树苗,从
组中移出两棵树苗进行试验研究,则
组中的树苗
和
组中的树苗
同时被移出的概率是多少?