Question

11．设a＞2b＞0，则（a-b）²+$\frac{9}{b（a-2b）}$的最小值是（　　）

• A． 12
• B． 9
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 由题意和基本不等式易得b（a-2b）≤$\frac{（a-b）^{2}}{4}$，代入再由基本不等式可得（a-b）²+$\frac{9}{b（a-2b）}$≥（a-b）²+$\frac{36}{（a-b）^{2}}$≥2$\sqrt{（a-b）^{2}•\frac{36}{（a-b）^{2}}}$=12，验证等号成立即可．

解答 解：∵a＞2b＞0，∴b＞0，a-2b＞0．
∴b（a-2b）≤$（\frac{b+a-2b}{2}）^{2}$=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$，
∴（a-b）²+$\frac{9}{b（a-2b）}$≥（a-b）²+$\frac{9}{\frac{（a-b）^{2}}{4}}$
=（a-b）²+$\frac{36}{（a-b）^{2}}$≥2$\sqrt{（a-b）^{2}•\frac{36}{（a-b）^{2}}}$=12
当且仅当b=a-2b且（a-b）²=$\frac{36}{（a-b）^{2}}$即a=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$且b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号．
故选：A

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．