Question

3．（1）若$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{2}＜β＜0$，$cos（\frac{π}{4}+α）=\frac{1}{3}$，$cos（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$求cos（α+\frac{β}{2}）$；
（2）若$tanα=\sqrt{5}-2$，$tanβ=\frac{1}{3}$，α，β都是锐角，求2α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin（$\frac{π}{4}$+α）、sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+$\frac{β}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]的值．
（2）先利用二倍角的正切公式求得tan2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan（2α+β）的值，可得2α+β的值．

解答 解：（1）∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{2}＜β＜0$，∴$\frac{π}{4}+α∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，$\frac{π}{4}-\frac{β}{2}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，
又$cos（\frac{π}{4}+α）=\frac{1}{3}$，$cos（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$sin（\frac{π}{4}+α）=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，$sin（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴cos（α+$\frac{β}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]=cos（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
（2）∵tanα，tanβ∈（0，1），又α，β是锐角，∴$α，β∈（0，\frac{π}{4}）$，∴$2α+β∈（0，\frac{3π}{4}）$，$tan2α=\frac{2tanα}{{1-ta{n^2}α}}=\frac{1}{2}$，
∴$tan（2α+β）=\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2α•tanβ}=1$，
又∵$2α+β∈（0，\frac{3π}{4}）$，∴$2α+β=\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．