题目内容
2.已知函数f(x)=$\sqrt{lo{g}_{2}(x-1)}$的定义域为集合A,函数g(x)=($\frac{1}{2}$)x,(-1≤x≤0)的值域为集合B.(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|a≤x≤2a-1},且C∩B=C,求实数a的取值范围.
分析 (1)要使函数f(x)=$\sqrt{lo{g}_{2}(x-1)}$有意义,则log2(x-1)≥0,利用对数的单调性可得x的范围,即可得到其定义域为集合A;对于函数g(x)=($\frac{1}{2}$)x,由于-1≤x≤0,利用指数函数的单调性可得$(\frac{1}{2})^{0}≤g(x)$≤$(\frac{1}{2})^{-1}$,即可得出其值域为集合B.利用交集运算性质可得A∩B.
(2)由于C∩B=C,可得C⊆B.分类讨论:对C=∅与C≠∅,利用集合之间的关系即可得出.
解答 解:(1)要使函数f(x)=$\sqrt{lo{g}_{2}(x-1)}$有意义,则log2(x-1)≥0,解得x≥2,
∴其定义域为集合A=[2,+∞);
对于函数g(x)=($\frac{1}{2}$)x,∵-1≤x≤0,
∴$(\frac{1}{2})^{0}≤g(x)$≤$(\frac{1}{2})^{-1}$,化为1≤g(x)≤2,其值域为集合B=[1,2].
∴A∩B={2}.
(2)∵C∩B=C,∴C⊆B.
当2a-1<a时,即a<1时,C=∅,满足条件;
当2a-1≥a时,即a≥1时,要使C⊆B,则$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤2}\end{array}\right.$,解得$1≤a≤\frac{3}{2}$.
综上可得:a∈$(-∞,\frac{3}{2}]$.
点评 本题考查了函数的单调性、集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | 12 | B. | 9 | C. | 6 | D. | 3 |