Question

已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；
（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）2（2）5（3）当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．

（1）由已知，得．由，得．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3．再由，得 ．
由，故，即．
由b≥3，故，解得． 于是，根据，可得．
（2）由，对于任意的，均存在，使得，则
．
又，由数的整除性，得b是5的约数．
故，b=5．
所以b=5时，存在正自然数满足题意．
（3）设数列中，成等比数列，由，，得
．
化简，得．    （※） 
当时，时，等式（※）成立，而，不成立．
当时，时，等式（※）成立．当时，，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．
综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．