题目内容
【题目】设数列{an}满足a1=,
.(1)证明:数列
为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设cn=(3n+1)an,证明:数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)根据题意,由,构造
,两式相除即可得
,由等比数列的定义分析可得答案;(2)用反证法分析:假设存在正整数
,
,
且
,使得
,
,
成等差数列,由等差数列的定义可得
,即
,变形可得
,分析可得矛盾,即可得证明.
(1)证明:由条件, ,①
,②
由a1=知an>0, ∴an+1>0.
①/②得, 且
,
∴是首项为
,公比为
的等比数列.
因此,, ∴
.
(2)证明:由(1)得,cn=(3n+1)an=3n-1,
(反证法)假设存在正整数l,m,n且1≤l<m<n,使得cl,cm,cn成等差数列.
span>则2(3m-1)=3l+3n-2,即2·3m=3l+3n,
则有2·3m-l=1+3n-l,即2·3m-l-3n-l=1,
则有3m-l·[2-3n-l-(m-l)]=1,即3m-l·(2-3n-m)=1.
∵,
,
且
,∴
.
∴,∴
,∴
与
矛盾,
故假设不成立,所以数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
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(单位:万元)具有较强的相关性,且两者之间有如下对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
28 | 36 | 52 | 56 | 78 |
(1)求关于
的线性回归方程
;
(2)根据(1)中的线性回归方程,当广告费支出为10万元时,预测销售额是多少?
参考数据: ,
,
。
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.