Question

【题目】设数列{an}满足a1=，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设cn=(3n+1)an，证明：数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据题意，由，构造，两式相除即可得，由等比数列的定义分析可得答案；（2）用反证法分析：假设存在正整数，，且，使得，，成等差数列，由等差数列的定义可得，即，变形可得，分析可得矛盾，即可得证明．

（1）证明：由条件， ，①

，②

由a1=知an>0, ∴an+1>0.

①/②得， 且,

∴是首项为，公比为的等比数列.

因此，， ∴ .

（2）证明：由（1）得，cn=(3n+1)an=3n-1，

（反证法）假设存在正整数l，m，n且1≤l<m<n，使得cl，cm，cn成等差数列.

span>则2(3m-1)=3l+3n-2，即2·3m=3l+3n，

则有2·3m-l=1+3n-l，即2·3m-l-3n-l=1，

则有3m-l·[2-3n-l-(m-l)]=1，即3m-l·(2-3n-m)=1.

∵，，且，∴．

∴，∴，∴与矛盾，

故假设不成立，所以数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列