题目内容
【题目】已知函数有如下性质:如果常数
,那么该函数在
上是减函数,在
上是增函数.
若
,函数在
上的最小值为4,求a的值;
对于
中的函数在区间A上的值域是
,求区间长度最大的
注:区间长度
区间的右端点
区间的左断点
;
若
中函数的定义域是
解不等式
.
【答案】(1) (2)
(3)
或
【解析】
(1)单调增区间和减区间是以作为分界点,从而讨论
的大小关系后可得最小值,再利用最小值为
求出
.
(2)因为且其最小值为
,故
,
在
的左端点或右端点取最大值,故可得左端点或右端点的值,从而可求出区间长度最长的
.
(3)利用函数的单调性得到关于的不等式组,解之即得解集.
(1)由题意得函数在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,即
时函数在
处取得最小值,
故,解得
,
当时,即
时,函数在
处取得最小值,
故,解得
不符合题意,舍去.
综上可得.
(2)由(1)得,又
时函数取得最小值
,
令,则
,解得
或
,
又,故区间长度最大的
.
(3)由(1)知函数在上单调递增,
故原不等式等价于,
解得或
,
故不等式的解集.
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