题目内容
【题目】如图,直四棱柱 的所有棱长均为2,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)若 ,求平面
与平面
所成锐二面角的大小.
【答案】解:(Ⅰ)连结 交
于
,取
中点
,连结
.
因为 ,所以
是平行四边形,故
.
又 是
的中位线,故
,所以
,
所以四边形 为平行四边形.
所以 ,所以
,
又 平面
,
平面
,
所以 平面
.
(Ⅱ)以 为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,
则 ,
,
,
,
,
设平面 的法向量
,
则 ,即
,
解得 ,
令 ,得
,
显然平面 的一个法向量
,
所以 ,
所以平面 与平面
所成锐二面角的大小为45°
【解析】(Ⅰ)根据题目中所给的条件的特点,连结AC交BD于O,取BD1 的中点F,由已知可得ACC1A1是平行四边形,故A1C1∥AC.再由三角形中位线定理可得四边形OCEF为平行四边形.得到A1C1∥EF,由线面平行的判定可得结论;
(Ⅱ)建立适当的空间直角坐标系O-xyz,由已知求得点的坐标,求出平面BED1的法向量与平面ABCD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小.

【题目】某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况,随机抽取了高一、高二各人,对他们的学习时间进行了统计,分别得到了高一学生学习时间(单位:小时)的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图.
高一学生学习时间的频数分布表(学习时间均在区间内):
学习时间 | ||||||
频数 | 3 | 1 | 8 | 4 | 2 | 2 |
高二学生学习时间的频率分布直方图:
(1)求高二学生学习时间的频率分布直方图中的值,并根据此频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数;
(2)利用分层抽样的方法,从高一学生学习时间在,
的两组里随机抽取
人,再从这
人中随机抽取
人,求学习时间在
这一组中至少有
人被抽中的概率.