题目内容

【题目】如图,直四棱柱 的所有棱长均为2, 中点.

(Ⅰ)求证: 平面
(Ⅱ)若 ,求平面 与平面 所成锐二面角的大小.

【答案】解:(Ⅰ)连结 ,取 中点 ,连结 .
因为 ,所以 是平行四边形,故 .
的中位线,故 ,所以
所以四边形 为平行四边形.
所以 ,所以
平面 平面
所以 平面 .

(Ⅱ)以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,

设平面 的法向量
,即
解得
,得
显然平面 的一个法向量
所以
所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为45°
【解析】(Ⅰ)根据题目中所给的条件的特点,连结AC交BD于O,取BD1 的中点F,由已知可得ACC1A1是平行四边形,故A1C1∥AC.再由三角形中位线定理可得四边形OCEF为平行四边形.得到A1C1∥EF,由线面平行的判定可得结论;
(Ⅱ)建立适当的空间直角坐标系O-xyz,由已知求得点的坐标,求出平面BED1的法向量与平面ABCD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小.

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