Question

【题目】已知 .
（Ⅰ）对一切 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）证明：对一切 ，都有 成立．

Answer 1

【答案】解：（I） ，则 ，
设 ，则 ，
单调递减，② 单调递增，
所以 ，对一切 恒成立，所以 ；
（Ⅱ）问题等价于证明 ，
由（1）可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到，
设 ，则 ，易知
，当且仅当 时取到，
从而对一切 ，都有 成立
【解析】本题主要考查函数的单调性、最值问题，以及导数的应用和不等式的证明问题。（1）把恒成立的问题要利用转化的思想进行等价转化，把不等式2 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立的问题转化为a ≤ 2 ln x + x + 3 /x恒成立的问题，进而利用导数求解最小值即可求出a的取值范围。（2）要证明的不等式问题要转化为证明 x ln x > x/ e x 2 /e的问题，根据函数的单调性进行求解即可。
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．