题目内容
12.已知向量$\overrightarrow{a}$=(m,-1),$\overrightarrow{b}$=(sinx,cosx),f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$且满足f($\frac{π}{2}$)=1.(1)求函数y=f(x)的最大值及其对应的x值;
(2)若f(α)=$\frac{1}{5}$,求$\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$的值.
分析 (1)由条件利用两个向量的数量积公式,求得m=1,再根据正弦函数的值域求得函数的最大值以及其对应的x值.
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin2α=$\frac{24}{25}$.再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子为sin2α,可得结果.
解答 解:(1)∵f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=msinx-cosx,且满足f($\frac{π}{2}$)=1,∴$msin\frac{π}{2}-cos\frac{π}{2}=1$,即m=1,
则f(x)=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$),
当x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,即x=2kπ+$\frac{3π}{4}$,k∈Z时,f(x)max=$\sqrt{2}$.
(2)f(α)=$\frac{1}{5}$,即sinα-cosα=$\frac{1}{5}$,两边平方得:1-sin2α=$\frac{1}{25}$,所以sin2α=$\frac{24}{25}$.
故 $\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinαcosα-{2sin}^{2}α}{\frac{cosα-sinα}{cosα}}$=2sinαcosα=sin2α=$\frac{24}{25}$.
点评 本题主要考查两个向量的数量积公式,正弦函数的值域,同角三角函数的基本关系,属于基础题.
练习册系列答案
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