题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，侧面
底面
，
，
为
中点，底面是直角梯形，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）设
为棱上一点，
，试确定
的值使得二面角
为
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，证明四边形
是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明
平面
．
（2）以
为原点，
，
，
所在直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
求出相关点的坐标，平面
的法向量．平面
的法向量，通过二面角结合数量积求解
即可．
解：（1）证明：设的中点为，连接，
点
，分别是
的中点，
，且
，
，且
，
四边形是平行四边形．
，又
平面，
平面，
平面．
（2）因为侧面
底面
，
，面
面
，
面
面
面
又
即
以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则
， 
， 
， 
，
令
， 
，
，
，
平面，
即为平面的法向量．
设平面的法向量为
，
则
即
．令
，得
．
若二面角
为
，
则
，
解得
，
在
上，
．．
【题目】某商场营销人员对某商品
进行市场营销调查，发现每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
回馈点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量（百件）/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合该商品每天的销量
（百件）与返还点数
之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程
，并预测若回馈6个点时该商品每天销量；
（2）已知节日期间某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了抽样调查，得到如下频数表：
返还点数预期值区间 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（ii）将对返点点数的心理预期值在
和
的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量
，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：①
，
；②
.
