题目内容
【题目】设数列前n项和为
,且
其中m为实常数,
且
.
(1)求证:是等比数列;
(2)若数列的公比满足
且
,
,求证:数列
是等差数列,并求
的通项公式;
(3)若时,设
,求数列
的前n和
.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析,(3)
【解析】
(1)根据所给的关系式,仿写一个关系式,两式相减得到连续两项的比值等于常数,故得结果;
(2)根据求出
的值,再根据题意得到关于数列
的表达式
,两边除以
可证
为等差数列,求出新数列
的表达式,进而求出数列
的表达式;
(3)将代入可得
的通项公式,利用错位相减法求结果即可.
(1)由,得
,
两式相减得,
∴.由
,解出
,
∴是以1为首项,
为公比的等比数列.
(2)由,解出
,∴
.
,
且
时,
,
,推出
.
∴是以1为首项,
为公差的等差数列.
∴,∴
.
(3)若,则
,所以
,又
,
∴.
.
∴.
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