题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)当,
,且
,关于
的方程
有唯一实数解,求实数
的值.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为
;(2)
.
【解析】
(1)将代入函数
的解析式,求出该函数的定义域与导数,利用导数能求出函数
的单调增区间与减区间;
(2)由题意知,方程有唯一实数解,由参变量分离法得知方程
有唯一解(其中
),构造函数
,利用导数研究函数
的单调性与极值,利用数形结合思想可得出正实数
的值.
(1)当时,
,定义域为
,
.
当时,
;当
时,
.
所以,函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(2)当,
时,
,
由于,由题意知,方程
有唯一实数解,则方程
有唯一解,
构造函数,其中
,则
,令
,得
.
因为函数在其定义域上为减函数 ,
当时,
;当
时,
.
所以,函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
所以,函数的极小值为
,作出函数
和
的图象如下图所示:
,则
,由图象可知,当
时,即当
时,直线
与函数
的图象只有一个交点,因此,
.
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