题目内容
【题目】某工厂抽取了一台设备
在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）计算该样本的平均值
，方差
；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布
，其中
近似为样本平均值，
近似为样本方差.任取一个产品，记其质量指标值为
.若
，则认为该产品为一等品；
，则认为该产品为二等品；若
，则认为该产品为不合格品.已知设备正常状态下每天生产这种产品1000个.
（i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过
？
（ii）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备换得生产相同产品的改进设备
.经测试，设备正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是
，二等品的概率是
，不合格品的概率是
.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备？
参考数据：①
；②
；③
，
.
【答案】(1) 
；
(2) （i）见解析（ii）见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图，用各组区间的中点值作代表可求得样本的平均值
，方差
。
（2）根据（1）中求得的平均值，方差，可求得在
范围内的频率，进而可判断出不合格品是否超过
；或利用正太分布曲线，求
后进行判断。
跟题意，求得A设备与B设备的盈利均值，并根据每天多盈利额判断即可。
（1）由频率分布直方图可得
.
（2）（i）方法一：由（1）得
，
由图可得质量指标值在
和
的频率为
，
所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过.
方法二：由于
.
所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过.
（ii）设
，
分别为设备
，
一天为工厂创造的利润，
则
，
，
所以采用新设备利润每天增加
，
因此，只需56天使用设备产生的利润就超过使用设备产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备.
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