Question

【题目】已知动点G(x,y)满足

（1）求动点G的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,1)作直线L与曲线交于不同的两点,且线段中点恰好为Q.求的面积；

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先由椭圆的定义得知轨迹为椭圆，并利用椭圆定义求出，从已知条件中得出，并求出值，结合椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程；

（2）由已知条件得知直线的斜率存在，并设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由为的中点求出的值，从而得出直线的方程，再利用弦长公式求出，由点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，再利用三角形的面积公式可求出的面积。

（1）由动点满足可知，

动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为；

（2）由于直线与曲线相交所得线段中点恰好为可知，

直线的斜率一定存在，设直线的方程为，

联立，消去可得，

所以，

又线段中点的横坐标为1，，解得，

， 直线的方程为，

弦长，原点到直线的距离为，

。