Question

1．若三个角α、β、γ满足：tanα+tanβ+tanγ=$\frac{17}{6}$，cotα+cotβ+cotγ=-$\frac{4}{5}$，cotα•cotβ+cotβ•cotγ+cotγ•cotα=-$\frac{17}{5}$，则tan（α+β+γ）=11．

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正切公式求得tanα+tanβ+tanγ=$\frac{17}{6}$①，tanαtanγtanβ=-$\frac{5}{6}$②，tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=$\frac{2}{3}$③，从而求得tan（α+β+γ）=tan[（α+β）+γ]的值．

解答 解：∵cotα•cotβ+cotβ•cotγ+cotγ•cotα=-$\frac{17}{5}$，即 $\frac{1}{tanαtanβ}$+$\frac{1}{tanβtanγ}$+$\frac{1}{tanαtanγ}$=-$\frac{17}{5}$，
去分母：tanα+tanβ+tanγ=-$\frac{17}{5}$tanαtanγtanβ；
∵tanα+tanβ+tanγ=$\frac{17}{6}$，①
∴tanαtanγtanβ=-$\frac{5}{6}$；②
∵cotα+cotβ+cotγ=-$\frac{4}{5}$，去分母：-$\frac{4}{5}$tanαtanγtanβ=tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ，
∴tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=-$\frac{4}{5}$×（-$\frac{5}{6}$）=$\frac{2}{3}$；③
 令tanα+tanβ+tanγ=$\frac{17}{6}$=A，tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=$\frac{2}{3}$=B，tanαtanγtanβ=-$\frac{5}{6}$=C，
则tan（α+β+γ）=tan[（α+β）+γ]=$\frac{tan（α+β）+tanγ}{1-tan（α+β）tanγ}$=$\frac{\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}+tanγ}{1-\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}•tanγ}$=$\frac{A-C}{1-B}$=$\frac{\frac{17}{6}-\frac{5}{6}}{1-\frac{2}{3}}$=11，
故答案为：11．

点评 本题考查两角和的正切公式，着重考查化归思想与整体代入思想，考查综合分析与运算求解能力，属于难题．