题目内容

已知圆心为F1的圆的方程为(x+2)2+y2=32,F2(2,0),C是圆F1上的动点,F2C的垂直平分线交F1C于M.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交M的轨迹于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.
(1)∵F2C的垂直平分线交F1C于M,
∴|MF1|=|MC|.
∵|F1C|=4
2

∴|MF1|+|MC|=4
2

∴|MF1|+|MF2|=4
2

∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点,以4
2
为长轴长的椭圆.
由c=2,a=2
2
,得b2=a2-c2=8-4=4.
故曲线C的方程为
x2
8
+
y2
4
=1

(2)证明:当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1),
与椭圆方程联立,可得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
4k(k-2)
1+2k2
,x1x2=
2k2-8k
1+2k2

从而kl+k2=
y1-2
x1
+
y2-2
x2
=2k-(k-4)•
4k(k-2)
2k2-8k
=4.
当直线l的斜率不存在时,得A(-1,
14
2
),B(-1,-
14
2
),
得kl+k2═4.
综上,恒有kl+k2=4,为定值.
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