题目内容

已知半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)
和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线C,其中a>b>0;如图,半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)
内切于矩形ABCD,且CD交y轴于点G,点P是半圆x2+y2=b2(y≤0)上异于A,B的任意一点,当点P位于点M(
6
3
,-
3
3
)
时,△AGP的面积最大.
(1)求曲线C的方程;
(2)连PC、PD交AB分别于点E、F,求证:AE2+BF2为定值.
(1)已知点M(
6
3
,-
3
3
)

在半圆x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(
6
3
)2+(-
3
3
)2=b2
,又b>0,
所以b=1,当半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点P处的切线与直线AG平行时,
点P到直线AG的距离最大,
此时△AGP的面积取得最大值,
故半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点M处的切线与直线AG平行,
所以OM⊥AG,又kOM=
yM-0
xM-0
=-
2
2

所以kAG=
2
=
a
b
,又b=1,所以a=
2
,(4分)
所以曲线C的方程为x2+
y2
2
=1(y≥0)
或x2+y2=1(y≤0).
(2)点C(1,
2
)
,点D(-1,
2
)

设P(x0,y0),则有直线PC的方程为y-
2
=
y0-
2
x0-1
(x-1)

令y=0,得x=1-
2
(x0-1)
y0-
2

所以AE=2-
2
(x0-1)
y0-
2

直线PD的方程为y-
2
=
y0-
2
x0+1
(x+1)

令y=0,得xF=-1-
2
(x0+1)
y0-
2

所以BF=2+
2
(x0+1)
y0-
2

AE2+BF2=[2-
2
(x0-1)
y0-
2
]2+[2+
2
(x0+1)
y0-
2
]2

=
4
x20
+4
(y0-
2
)
2
+
8
2
y0-
2
+8

又由x02+y02=1,得x02=1-y02
代入上式得AE2+BF2=
8-4
y20
(y0-
2
)
2
+
8
2
y0-
2
+8

=
8-4
y20
+8
2
(y0-
2
)
(y0-
2
)
2
+8

=
-4(y0-
2
)
2
(y0-
2
)
2
+8=4
,所以AE2+BF2为定值.
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