题目内容
已知半椭圆
+
=1(y≥0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线C,其中a>b>0;如图,半椭圆
+
=1(y≥0)内切于矩形ABCD,且CD交y轴于点G,点P是半圆x2+y2=b2(y≤0)上异于A,B的任意一点,当点P位于点M(
,-
)时,△AGP的面积最大.
(1)求曲线C的方程;
(2)连PC、PD交AB分别于点E、F,求证:AE2+BF2为定值.
x2 |
b2 |
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
y2 |
a2 |
| ||
3 |
| ||
3 |
(1)求曲线C的方程;
(2)连PC、PD交AB分别于点E、F,求证:AE2+BF2为定值.
(1)已知点M(
,-
)
在半圆x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(
)2+(-
)2=b2,又b>0,
所以b=1,当半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点P处的切线与直线AG平行时,
点P到直线AG的距离最大,
此时△AGP的面积取得最大值,
故半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点M处的切线与直线AG平行,
所以OM⊥AG,又kOM=
=-
,
所以kAG=
=
,又b=1,所以a=
,(4分)
所以曲线C的方程为x2+
=1(y≥0)或x2+y2=1(y≤0).
(2)点C(1,
),点D(-1,
),
设P(x0,y0),则有直线PC的方程为y-
=
(x-1),
令y=0,得x=1-
,
所以AE=2-
;
直线PD的方程为y-
=
(x+1),
令y=0,得xF=-1-
,
所以BF=2+
;
则AE2+BF2=[2-
]2+[2+
]2
=
+
+8,
又由x02+y02=1,得x02=1-y02,
代入上式得AE2+BF2=
+
+8
=
+8
=
+8=4,所以AE2+BF2为定值.
| ||
3 |
| ||
3 |
在半圆x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(
| ||
3 |
| ||
3 |
所以b=1,当半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点P处的切线与直线AG平行时,
点P到直线AG的距离最大,
此时△AGP的面积取得最大值,
故半圆x2+y2=b2(y≤0)
在点M处的切线与直线AG平行,
所以OM⊥AG,又kOM=
yM-0 |
xM-0 |
| ||
2 |
所以kAG=
2 |
a |
b |
2 |
所以曲线C的方程为x2+
y2 |
2 |
(2)点C(1,
2 |
2 |
设P(x0,y0),则有直线PC的方程为y-
2 |
y0-
| ||
x0-1 |
令y=0,得x=1-
| ||
y0-
|
所以AE=2-
| ||
y0-
|
直线PD的方程为y-
2 |
y0-
| ||
x0+1 |
令y=0,得xF=-1-
| ||
y0-
|
所以BF=2+
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y0-
|
则AE2+BF2=[2-
| ||
y0-
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| ||
y0-
|
=
4
| ||
(y0-
|
8
| ||
y0-
|
又由x02+y02=1,得x02=1-y02,
代入上式得AE2+BF2=
8-4
| ||
(y0-
|
8
| ||
y0-
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=
8-4
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(y0-
|
=
-4(y0-
| ||
(y0-
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