题目内容
【题目】已知(m,n为常数),在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若,使得对
上恒有
成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若有两个不同的零点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ),x∈(0,+∞);(Ⅱ)
;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)利用导数的几何意义意义求得m,n的值,根据对数函数的定义得到函数定义域;
(Ⅱ)f(x)在[,1]上的最小值为f(1)=1,只需t3﹣t2﹣2at+2≤1,即
对任意的
上恒成立,构造函数m(t),利用导数求出m(t)的最大值,即可求得结论;
(Ⅲ)不妨设x1>x2>0,得到g(x1)=g(x2)=0,根据相加和相减得到,再利用分析法,构造函数,求出函数单调性和函数的最小值,问题得以证明.
解:(Ⅰ)由f(x)=+nlnx可得
,
由条件可得,把x=-1代入x+y=2可得,y=1,
∴,∴m=2,
,∴
,x∈(0,+∞),
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在上单调递减,∴f(x)在
上的最小值为f(1)=1,
故只需t3-t2-2at+2≤1,即对任意的
上恒成立,
令,
易求得m(t)在单调递减,[1,2]上单调递增,
而,
,∴2a≥m(t)max=g(2),∴
,即a的取值范围为
(Ⅲ)∵,不妨设x1>x2>0,
∴g(x1)=g(x2)=0,
∴,
,相加可得
,相减可得
,
由两式易得:;要证
,即证明
,即证:
,需证明
成立,令
,则t>1,于是要证明
,构造函数
,∴
,故(t)在(1,+∞)上是增函数,
∴(t)>(1)=0,∴,故原不等式成立.
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