题目内容
【题目】将数列
的前n项和分成两部分，且两部分的项数分别是i，
，若两部分的和相等，则称数列的前n项和能够进行
等和分割．
若
，
，试写出数列的前4项和的所有等和分割；
求证：等差数列的前
项和能够进行
等和分割；
若数列的通项公式为：
，且数列的前n项和能进行等和分割，求所有满足条件的n．
【答案】（1）
，或
（2）证明见解析（3）
或
，
【解析】
)利用通项公式求出前4项的值，利用定义进行分割即可．
由等差数列的性质知，
，即可证明.
由前n项和能分出两部分，两部分的和相等可知，数列
的前n项和为偶数，可得或进一步利用分类讨论思想，结合（2）的结论即可求解．
解：
由数列
，
，
得
，
，
，
，
则数列的前4项和的所有等和分割为，或．
因为数列为等差数列，
所以．
将上述2k个两式子分成两部分，则和相等．
所以等差数列的前4k项和能进行等和分割；
因为数列的通项公式为：
，且数列的前n项和能进行等和分割，
所以数列的前n项和
为偶数，
所以或．
当时，由得知，数列可以进行等和分割．
当时，首先考虑
，
则分割成两部分
，
．
故
，即
时，前3项能进行等和分割．
当
时，前
项为：1，2，3，
，
，
，
，
，
，
由得知：，，，，，，能分成等和的两部分，
分别把两部分，进行加入，则两部分和相等．
【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组 |
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男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
