题目内容
【题目】如图,已知圆:
,点
是圆
内一个定点,点
是圆上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
相交于点
.当点
在圆上运动时,点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设过点的直线
与曲线
相交于
两点(点
在
两点之间).是否存在直线
使得
?若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在,
或
.
【解析】
(1)结合垂直平分线的性质和椭圆的定义,求出椭圆的方程.
(2)设出直线的方程,联立直线
的方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用
,结合向量相等的坐标表示,求得直线
的斜率,进而求得直线
的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线
的方程的设法的不同.
(1)因为圆的方程为
,
所以,半径
.
因为是线段
的垂直平分线,所以
.
所以.
因为,
所以点的轨迹是以
,
为焦点,长轴长
的椭圆.
因为,
,
,
所以曲线的方程为
.
(2)存在直线使得
.
方法一:因为点在曲线
外,直线
与曲线
相交,
所以直线的斜率存在,设直线
的方程为
.
设,
由 得
.
则, ①
, ②
由题意知,解得
.
因为,
所以,即
. ③
把③代入①得,
④
把④代入②得,得
,满足
.
所以直线的方程为:
或
.
方法二:因为当直线的斜率为0时,
,
,
,
此时.
因此设直线的方程为:
.
设,
由 得
.
由题意知,解得
或
,
则, ①
, ②
因为,所以
. ③
把③代入①得,
④
把④代入②得,
,满足
或
.
所以直线的方程为
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动,积极引导学生走向操场,走进大自然,参加体育锻炼,每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位:分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:
分组 | ||||||
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.