题目内容
【题目】已知椭圆()的一个焦点与抛物线的焦点重合,截抛物线的准线所得弦长为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图所示,,,是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意一点,直线交轴于点,直线交于点,设的斜率为,的斜率为.证明:为定值.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)由椭圆与抛物线的焦点相同可知椭圆的焦点为,即,且抛物线的准线为,再由弦长为1可得椭圆与准线的一个交点为,即可代入椭圆方程中,进而求解即可;
(2)由(1)可得点的坐标,设直线的方程为(,),与椭圆方程联立可得点的坐标,由直线的方程为与直线的方程联立可得点的坐标,再根据三点共线可得点的坐标,即可求得的斜率,进而得证.
(1)解:由题,椭圆焦点即为抛物线的焦点为,准线方程为,①,
又椭圆截抛物线的准线所得弦长为1,
∴可得一个交点为,②,由①②可得,
从而,
∴该椭圆的方程为
(2)证明:由(1)可得,且点不为椭圆顶点,
则可设直线的方程为(,),③
③代入,解得,
因为直线的方程为④
③与④联立解得,
由,,三点共线知,即,解得,
所以的斜率为,
则(定值).
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