Question

13．已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁与a₄的等比中项，且a₄-a₁=6，在等比数列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=$\frac{1}{2n（{a}_{n}+2）}$，数列{C_n}的前n项和为T_n．若T_n＞$\frac{1}{8}$（1-m²）对n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a₂是a₁与a₄的等比中项，且a₄-a₁=6，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+3d）$，3d=6，
解得d=2，a₁=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
在等比数列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄．
∴b₁=2，b₃=8=2q²，解得q=2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）C_n=$\frac{1}{2n（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{C_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$，
∵T_n＞$\frac{1}{8}$（1-m²）对n∈N^*恒成立，
∴$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{8}$（1-m²），m²＞0，
∴实数m的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．