题目内容

5.解关于x的不等式.
(1)$\sqrt{2x-a}$<$\sqrt{x+1}$;
(2)(x2-1)$\sqrt{{x}^{2}+1}$<x(x2+1)

分析 (1)原不等式化为$\left\{\begin{array}{l}{x<a+1}\\{x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$,分类讨论,即可得到不等式的解集.
(2)(x2-1)$\sqrt{{x}^{2}+1}$<x(x2+1)?x2-1<x$\sqrt{{x}^{2}+1}$,根据x的值和-1,0,1的关系,分类讨论即可.

解答 解:(1)$\sqrt{2x-a}$<$\sqrt{x+1}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-a<x+1}\\{2x-a≥0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x<a+1}\\{x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$,
当a+1<$\frac{a}{2}$时,即a≤-2时,解集为空集,
当a+1>$\frac{a}{2}$时,即a>-2时,解集为($\frac{a}{2}$,a+1)
(2)(x2-1)$\sqrt{{x}^{2}+1}$<x(x2+1)?x2-1<x$\sqrt{{x}^{2}+1}$,
当0≤x≤1时,不等式成立,即解集为[0,1],
当x>1时,不等式两边平方得到x4-2x2+1<x4+x2,即x2>$\frac{1}{3}$,解得x>1,故解集为(1,+∞)
当x≤-1时,左边为非负数,右边为负数,不等式不成立,故解集为∅,
当-1<x<0时,不等式化为1-x2>-x$\sqrt{{x}^{2}+1}$,不等式两边平方得到x4-2x2+1>x4+x2,即x2<$\frac{1}{3}$,解得-1<x<-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,故解集为(-1,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$).
综上所述,原不等式的解集为(-1,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$)∪[0,+∞).

点评 本题考查不等式的解法,关键是分类讨论,属于中档题.

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