题目内容
【题目】已知三棱锥的展开图如图二,其中四边形
为边长等于
的正方形,
和
均为正三角形,在三棱锥
中:
(1)证明:平面平面
;
(2)若是
的中点,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)设的中点为
,连接
,
,由边长关系得
,从而可得
平面
,即可证明平面
平面
;
(2)由(1)问可知平面
,所以以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图示空间直角坐标系,利用向量法求出平面
和平面
的法向量,再利用二面角的公式即可得到二面角
的余弦值。
(1)设的中点为
,连接
,
,
由题意,得,
,
.
因为在中,
,
为
的中点,所以
,
因为在中,
,
,
,
,所以
因为,
,
平面
,所以
平面
,
平面
,所以平面
平面
(2)由(1)问可知平面
,所以
,
,
,于是以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图示空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
由得:
.令
,得
,
,即
.
设平面的法向量为
,由
得:
,令
,得
,
,即
.由图可知,二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享助力单车”在很多城市相继出现.某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度,随机调查了100名用户,得到用户的满意度评分(满分10分),现将评分分为5组,如下表:
组别 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
满意度评分 | [0,2) | [2,4) | [4,6) | [6,8) | [8,10] |
频数 | 5 | 10 | a | 32 | 16 |
频率 | 0.05 | b | 0.37 | c | 0.16 |
(1)求表格中的a,b,c的值;
(2)估计用户的满意度评分的平均数;
(3)若从这100名用户中随机抽取25人,估计满意度评分低于6分的人数为多少?
【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
【题目】一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据:
x | 1.08 | 1.12 | 1.19 | 1.28 | 1.36 | 1.48 | 1.59 | 1.68 | 1.80 | 1.87 |
y | 2.25 | 2.37 | 2.40 | 2.55 | 2.64 | 2.75 | 2.92 | 3.03 | 3.14 | 3.26 |
(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程;
②通过建立的y关于x的回归方程,估计某月产量为1.98万件时,此时产品的总成本为多少万元?
(均精确到0.001)
附注:①参考数据:,
,
②参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
.