题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
，
为
的中点，
平面且
，
为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
，证得
是的中点.根据中位线证得
，由此证得
平面
.
（2）以为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，利用直线
的方向向量和平面
的法向量，计算出直线与平面所成角的正弦值.
（1）连接，由于是
的中点，而四边形是平行四边形，所以是的中点.由于
是
的中点，所以在三角形
中，
是中位线，所以.因为
平面，
平面，所以
平面.
（2）由于底面是平行四边形，
，
，所以三角形
是等边三角形，所以
，所以四边形是菱形，对角线
相互垂直平分.由于
平面，所以
.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.则
.所以
，平面的法向量为
.设直线与平面所成角为
，则
.所以直线与平面所成角的正弦值为.
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