题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若对任意的,都有成立,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当时增区间为当时增区间为,减区间为(Ⅲ)
【解析】
试题(Ⅰ)利用导数的几何意义得到切线的斜率,进而得到切线方程(Ⅱ)首先计算函数的导数,令导数大于零可得增区间,进而得到减区间,求解时注意对参数的取值范围分情况讨论(Ⅲ)不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题
试题解析:(Ⅰ)时,
曲线在点处的切线方程
(Ⅱ)
①当时,恒成立,函数的递增区间为
②当时,令,解得或
x | ( 0,) | (,1) | |
f’(x) | - | + | |
f(x) | 减 | 增 |
所以函数的递增区间为,递减区间为
(Ⅲ)对任意的,使成立,只需任意的,
①当时,在上是增函数,
所以只需
而
所以满足题意;
②当时,,在上是增函数,
所以只需
而
所以满足题意;
③当时,,在上是减函数,上是增函数,
所以只需即可
而
从而不满足题意;
综合①②③实数的取值范围为.
练习册系列答案
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【题目】某医院用光电比色计检查尿汞时,得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表:
尿汞含量 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
消光系数 | 64 | 138 | 205 | 285 | 360 |
(1)作散点图;
(2)如果与之间具有线性相关关系,求回归线直线方程;
(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数.
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参考数据:,.