Question

9．给出下列四个命题：
①y=2+x³sin（x+$\frac{5π}{2}$）在区间[-10π，10π]上的最大值与最小值之和是6；
②函数f（x）=$\frac{x-1}{2x+1}$（x≠-$\frac{1}{2}$）的对称中心是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω=2，φ=$\frac{π}{2}$
所有正确命题的序号是④．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性，求出函数的最大值与最小值之和可判断①；利用分享常数法及反比例函数的图象和性质，可判断②；根据正棱锥的几何特征，可判断③；根据正弦型函数的图象和性质，可判断④．

解答 解：①y=2+x³sin（x+$\frac{5π}{2}$）=2+x³cosx，∵y=x³cosx为奇函数，最大值与最小值之和为0，故y=2+x³sin（x+$\frac{5π}{2}$）=2+x³cosx最大值与最小值之和是4，故①错误；
②函数f（x）=$\frac{x-1}{2x+1}$=$\frac{（x+\frac{1}{2}）-\frac{3}{2}}{2（x+\frac{1}{2}）}$=$\frac{-\frac{3}{4}}{x+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$，其图象由y=$\frac{-\frac{3}{4}}{x}$的图象向左平移$\frac{1}{2}$个单位，再向上平移$\frac{1}{2}$个单位个单位得到，由y=$\frac{-\frac{3}{4}}{x}$的对称中心是原点，故函数f（x）=$\frac{x-1}{2x+1}$（x≠-$\frac{1}{2}$）的对称中心是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），故②错误；
③底面是等边三角形，侧面有两个面是以底面的棱为腰长的等腰三角形且不是等边三角形的三棱锥，不是正三棱锥，故③错误；
④函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则函数的周期为π，则ω=2，
又由函数为偶函数，即sinφ=1，或sinφ=-1，故φ=$\frac{π}{2}$，故④正确；
故正确命题的序号是④；
故答案为：④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，反比例函数的图象和性质，棱锥的几何特征，正弦型函数的图象和性质，难度中档．