题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,和均是边长为2的等边三角形,点为中点,平面平面.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)先根据等腰三角形性质得A1O⊥AC,再根据面面垂直性质定理即得结论,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面A1BC1的法向量,根据向量数量积得向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.
详解:
(Ⅰ)证明:∵AA1=A1C,且O为AC的中点,
∴A1O⊥AC,
又∵平面AA1C1C⊥平面ABC,且交线为AC,又A1O平面AA1C1C,
∴A1O⊥平面ABC
(Ⅱ)如图,以为原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
由已知可得,, ,
∴,,,
设平面A1BC1的法向量为 ,
则有,
所以的一组解为
设直线与平面所成角为,
则
又∵img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2019/02/09/10/12b67617/SYS201902091002258755809350_DA/SYS201902091002258755809350_DA.024.png" width="60" height="33" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> =,
所以与平面所成角的正弦值为.
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