题目内容

【题目】设函数).

(Ⅰ)当时,求不等式的解集;

(Ⅱ)求证:,并求等号成立的条件.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明

【解析】

(Ⅰ)把代入不等式中,利用零点进行分类讨论,求解出不等式的解集;

(Ⅱ)证法一:对函数解析式进行变形为,显然当

时,函数有最小值,最小值为,利用基本不等式,可以证明出,并能求出等号成立的条件;

证法二:利用零点法把函数解析式写成分段函数形式,求出函数的单调性,最后求出函数的最小值,以及此时的的值.

解:(Ⅰ)当时,原不等式等价于

时,,解得

时,,解得

时,无实数解

原不等式的解集为

(Ⅱ)证明:法一:,当且仅当时取等号

当且仅当时,即时取等号,

,等号成立的条件是

法二:

上单调递减,在上单调递增

,等号成立的条件是

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