Question

【题目】已知圆G:x2+y2-x-y=0,经过椭圆的右焦点F及上顶点B,过圆外一点(m,0)(m>a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.

（1）求椭圆的方程;

（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）. （2）

【解析】

（1）利用圆经过点．求出，得到，求出．写出椭圆的方程．
（2）设直线的方程为．联立方程组消去，设，利用韦达定理，结合数量积小于0，求解的范围．

（1）∵圆G:x2+y2-x-y=0经过点F,B,

, 所以 c=1,b=,

∴a2=4,故椭圆的方程为

（2）易得直线的方程为y=-(x-m)(m>2).

由消去y,得7x2-8mx+(4m2-12)=0.

设C(x1,y1),D(x2,y2), 则,,

∴y1y2=[-(x1-m)]·[-(x2-m)]

=x1x2-m(x1+x2)+m2.

∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),

∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2

=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2

=2x1x2-(m+1)(x1+x2)+1+m2

=.

∵点F在圆E的内部,

∴ ,即,

解得.

由△ =64m2-28(4m2-12)>0,

解得-.

又,

∴.