题目内容
【题目】某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况,对广一模考试数学成绩进行分析,从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计(该校全体学生的成绩均在[60,140),按照[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140)的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在[70,90)内的所有数据的茎叶图如图2所示.
根据上级统计划出预录分数线,有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表( c ).
分数 | [50,85] | [85,110] | [110,150] |
可能被录取院校层次 | 专科 | 本科 | 重本 |
(1)求n和频率分布直方图中的x,y的值;
(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为概率,若在该校高三年级学生中任取3 人,求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率;
(3)在选取的样本中,从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研,用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
【答案】
(1)解:由题意可知,样本容量
解得
(2)解:成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)=15人,抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是 ,故从该校高三年级学生中任取1人的概率为
记该校高三年级学生中任取3人,至少有一人能被重点大学录取的事件为E;
则
(3)解:成绩能被重点大学录取的人数为15人,成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2=7人,
故随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3
所以, ,
,
,
故随机变量ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
随机变量ξ的数学期望
【解析】(1)由题意可知,样本容量n= ,再根据频率分布直方图的性质即可得出x,y.(2)成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)人,抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是
,故从该校高三年级学生中任取1人的概率为
.记该校高三年级学生中任取3人,至少有一人能被重点大学录取的事件为E;进而得出P(E)=1﹣
即可得出.(3)成绩能被重点大学录取的人数为15人,成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2=7人,可得随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,再利用超几何分布列即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识,掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
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