题目内容
【题目】已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值﹣e﹣2 ． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且 
对任意x＞1恒成立，求k的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）因为函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数为f′（x）=1+a+lnx，由f′（x）=1+a+lnx=0，
解得x=e﹣1﹣a ， 即当x=e﹣1﹣a ， 时，函数取得极小值﹣e﹣2 ．
即f（e﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a﹣1﹣a）=﹣e﹣1﹣a=﹣e﹣2 ，
所以解的a=1，即实数a的值为1．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x（1+lnx），所以设 
，
则 
．
令h（x）=x﹣2﹣lnx，x＞1．
因为 
，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4=2﹣2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一个实数根x0 ， 满足x0∈（3，4），且h（x0）=0．
， 即x0﹣2﹣lnx0=0，所以lnx0=x0﹣2．
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，此时g′（x）＜0，
当x∈（x0 ， +∞）时，h（x）＞0，此时g′（x）＞0．
所以 在x∈（1，x0）时，单调递减，在x∈（x0 ， +∞）上单调递增，
所以. 
= 
∈（3，4）．
所以要使 
对任意x＞1恒成立，则k＜g（x）min=x0∈（3，4），
因为k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值为3．
【解析】（Ⅰ）求函数的定义域，利用极小值﹣e﹣2 ， 求实数a的值；（Ⅱ）利用导数求函数的最值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值(极值反映的是函数在某一点附近的大小情况)．
智能训练练测考系列答案
【题目】某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图2所示． 
根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（ c ）．
分数 | [50，85] | [85，110] | [110，150] |
可能被录取院校层次 | 专科 | 本科 | 重本 |
（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
