Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为

1

2

（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线l过点（1，2）且倾斜角为45°且与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

（1）∵焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为

1

2

，
∴c=1，

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵直线l过点（1，2）且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y=x+1，
代入椭圆方程，消去y可得7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

∴|x₁-x₂|=

( 8 7 )2+4• 8 7

=

12 2

7

因此，|AB|=

2

•|x₁-x₂|=

24

7

．