题目内容

如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，，|A1B1|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且|
OP
|=1，是否存在上述直线l使
AP
•
PB
=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）由|A1B1|=
7
知a2+b2=7，①
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b2=a2-c2③
由①②③解得a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足
AP
•
PB
=1，直线l的方程不存在．
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|
OP
|=1得
|m|
1+k2
=1，即m2=k2+1 ④
∵
AP
•
PB
=1，|
OP
|=1，得知OA⊥OB所以x1x2+y1y2=0，
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
x1x2=
4m2-12
3+4k2
，x1+x2=
-8km
3+4k2
，
又y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=
3m2-12k2
3+4k2
，代入x1x2+y1y2=0中得7m2-12k2-12=0．⑤
由④⑤可知无解．所以此时l不存在．
故不存在直线方程使
AP
•
PB
=1成立．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
如图，⊙O：x2+y2=16，A（-2，0），B（2，0）为两定点，l是⊙O的一条动切线，若过A，B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是（　　）
A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆
过点（0，1）引直线与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线共有（　　）
A．1条B．2条C．3条D．4条
设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过Q点的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
已知直线L过点P（2，0），斜率为
4
3
，直线L和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P，M两点间的距离/PM/：（2）M点的坐标；（3）线段AB的长．
已知椭圆的一个焦点为(
2
，0)，且长轴长为短轴长的
3
倍．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的下顶点为A，且椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M，N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为
1
2

（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线l过点（1，2）且倾斜角为45°且与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值，并求这个定值．

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