题目内容
【题目】(Ⅰ)已知c>0,关于x的不等式:x+|x-2c|≥2的解集为R.求实数c的取值范围;
(Ⅱ)若c的最小值为m,又p、q、r是正实数,且满足p+q+r=3m,求证:p2+q2+r2≥3.
【答案】(Ⅰ)[1,+∞);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(I)由题意只需x+|x﹣2c|的最小值大于等于2即可,解不等式即可得c的范围;(Ⅱ)由(1)知p+q+r=3,运用柯西不等式,可得(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2,即可得证.
解:(I)不等式x+|x-2c|≥2的解集为R 函数y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2,
∵x+|x-2c|=,∴函数y=x+|x-2c|,在R上的最小值为2c,∴2c≥2c≥1.
所以实数c的取值范围为[1,+∞);
(Ⅱ)证明:由(1)知p+q+r=3,又p,q,r是正实数,
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,
即p2+q2+r2≥3.当且仅当p=q=r=1等号成立.

练习册系列答案
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支持 | 中立 | 不支持 | |
20岁以下 | 700 | 450 | 200 |
20岁及以上 | 200 | 150 | 300 |
在所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取人,则持“支持”态度的人中20岁及以上的有_________人