Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）讨论在上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先确定单调性，然后求导数，再通过讨论的范围，确定的符号，从而确定单调性.

（2）根据的单调性，分别讨论当时，在上的单调性，从而确定在区间两端点的函数值符号以及最值的符号，结合零点存在性定理，即可判断在上的零点个数情况.

解：（1）函数的定义域为..

当时，即，，在上单调递增，

∴在上单调递增.

当时，即，当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴当时，在上单调递增.

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）设，则由（1）知

①当时，即，当时，，在单调递减

，

∴当，即，时，在上恒成立，

∴当时，在内无零点.

当，即，时，，

根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，

∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.

②当时，即，当时，，在单调递增，

，.

∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点.

∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.

当时，，∴此时，在无零点.

③当时，即，当时，；当时，；

则在单调递减，在单调递增.

∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.

∴综上所述：

当时，在内有1个零点；

当时，在有一个零点；

当时，在无零点.